【学霸SHOWTIME】“好友悖论”为何你朋友的朋友总是比你的朋友多?

原创 2017年06月14日 新东方澳洲新西兰留学


在数学的发展历程中,出现过许多非常有趣的问题。它们大多源于我们的日常生活,看似简单却往往有着有悖于常理甚至匪夷所思的答案,有的甚至没有一个标准答案,比如著名的理发师悖论,说谎者悖论,阿基里斯悖论等等。


随着科学技术的发展,数学也并没有停滞不前,各种有趣的问题也是层出不穷。近年来,通讯网络的迅猛发展让我们与这个世界越来越紧密地联系在了一起,各种社交平台使得人与人之间的距离超越了地理的限制,真正实现了世界的互联。


不过,如果我告诉你,尽管你已经在很努力地发微博,刷脸书,交朋友,聊八卦,甚至抱着手机入睡,可你的朋友数还是很有可能比你大多数朋友的朋友数要少,你会作何反应?不要吃惊,不要绝望,因为我们大多数人都是这样。一般来说,我们的朋友总是比我们更受欢迎。

什么,你不相信?那我们就来看一个关于Facebook用户的调查。有几个康奈尔的学生调查了Facebook上所有的活跃用户(当时有7.21亿人,约占世界人口的10%),其中共有690亿对好友关系。他们研究了用户的好友数量与其好友的好友数量,发现93%的用户的好友数低于他好友的好友数量的平均值。


统计发现,平均一个用户只有190个朋友,而他们的朋友平均有635个朋友!对线下社交网络的调查研究也得出了类似的结论。我们把这一现象称作“好友悖论”,一种其实在很多情景下都可能出现的现象。

    

比如说你现在走进了一家健身房。看看周围,是不是觉得好像每个人的身材都比你好?恩,也许是因为你自己身材太差,但这种情况其实很难避免,同时你完全不需要因此觉得惭愧。如果你只是一个普通的健身房会员,根据预期你就应该看到这样的场景,因为那些大汗淋漓喘着粗气的人并不代表平均水平。他们是那种会花时间在健身房的类型,所以你才会第一眼就看到他们。而那些宅男宅女正窝在家里,所以你没法把他们算在内。


换句话说,你所取的统计样本并不具有代表性,它其中健身狂的比例偏多。这也很好地解释了为何人们总觉得机场、餐馆、公园、海滩的拥挤程度总是大于实际统计的平均值。因为人们总是在假期一窝蜂地拥向这些场所,而当这些地方没人的时候,没有人在场见证它们的空空如也。这样想就不难理解我们的“好友悖论”了。之所以你的好友大多比你受欢迎,就是因为那些人很大概率上也会是“社交狂魔”。



下面我们来举一个简单的小例子,从数学的角度来说明这一看似难以接受的结论的合理之处:

Abby, Becca, Chloe和Deb是四个高中生,连线代表两人互为好友。Becca是Abby唯一的好友,她是个小交际花,和每个人都是朋友。Chole和Deb是朋友,她们也是Becca的朋友。因此Abby有一个朋友,Becca有三个,Chole和Deb各有两个,加起来共有8个朋友。由于共有4个人,所以平均每个人有2个朋友。2这个平均数代表好友悖论里平均每个人的朋友数量。


注意,我们的好友悖论声称这个数量比朋友的平均朋友数小。那事实是否如此呢?这个问题有点让人头昏是因为“朋友的朋友”这句话念起来很拗口。为了避免这种情况,我们用朋友的“分数”来表示朋友的朋友的数量。所以问题就成了:“你的圈子里所有朋友的平均分是多少?”假设每个女孩都会喊出她的朋友的分数:

Abby:“Becca三分。”
Becca:“Abby一分,Chloe两分,Deb两分。”
Chloe:“Becca三分,Deb两分。”

Deb: “Becca三分,Chloe两分。”


把这些分数加起来3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2,等于18。由于一共有八个分数,因此平均值是18除以8,等于2.25。注意2.25比2大。看来朋友的平均得分的确比自己的高。不过关键在于这一现象为什么会发生。这是因为Becca这样受欢迎的人不仅分数高,被朋友提到的次数也多,因此对平均分的贡献不成比例地高。看看Becca是怎样把总分变成18的吧:Abby被提到了一次,因为她的得分是1,因此她对总分的贡献是1x1;Becca被提到了三次,而她的分数是3,因此她的贡献是3X3;Chloe和Deb都被提到了两次,每次贡献两分,因此为总分贡献了2x2。所以这四个人的总分就是(1 x 1) + (3 x 3) + (2 x 2) + (2 x 2)。

看看上面的算式你应该明白了,每个人的得分平方后才相加。这个算法令大数字所占的比重更重(就像上面的例子中Becca所得的3分一样),平均分也因此大大提高了。由于朋友的分数是平方后的加权平均数,因此总是比没有以这种方式加权的自己的得分高。正因如此,我们才会直观地感到自己朋友的朋友比自己的朋友多。


生活中类似这样有趣的现象还有很多,而其中相当一部分都可以用基本的数学概念去解释。想要了解更多有趣的数学问题以及它们背后的数学原理?那就赶紧来英领计划体验我们专业而有趣的数学课程吧!


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Anakin

•美国佐治亚理工学院电子与计算机工程硕士毕业(GPA3.9, 专排全美前5) 

• 获得哥伦比亚大学,宾夕法尼亚大学,康奈尔大学,杜克大学,卡内基梅隆大学,加州大学洛杉矶分校,南加州大学等十余所全美顶尖院校offer 

• TOEFL:113/120,  GRE:332/340 

• 北京邮电大学电信工程专业本科毕业(综合GPA3.7,专业GPA4.0) 

• 大学期间获得全国大学生英语竞赛一等奖及全美大学生数学建模竞赛M奖(一等奖)

• 熟悉网络通信技术,拥有软件开发经历,有丰富的理科教学经历 

• 英领计划合肥负责人

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