【学霸SHOWTIME】“好友悖论”为何你朋友的朋友总是比你的朋友多？,新东方澳洲新西兰留学微信公众号文章

在数学的发展历程中，出现过许多非常有趣的问题。它们大多源于我们的日常生活，看似简单却往往有着有悖于常理甚至匪夷所思的答案，有的甚至没有一个标准答案，比如著名的理发师悖论，说谎者悖论，阿基里斯悖论等等。

随着科学技术的发展，数学也并没有停滞不前，各种有趣的问题也是层出不穷。近年来，通讯网络的迅猛发展让我们与这个世界越来越紧密地联系在了一起，各种社交平台使得人与人之间的距离超越了地理的限制，真正实现了世界的互联。

不过，如果我告诉你，尽管你已经在很努力地发微博，刷脸书，交朋友，聊八卦，甚至抱着手机入睡，可你的朋友数还是很有可能比你大多数朋友的朋友数要少，你会作何反应？不要吃惊，不要绝望，因为我们大多数人都是这样。一般来说，我们的朋友总是比我们更受欢迎。

什么，你不相信？那我们就来看一个关于Facebook用户的调查。有几个康奈尔的学生调查了Facebook上所有的活跃用户(当时有7.21亿人，约占世界人口的10%)，其中共有690亿对好友关系。他们研究了用户的好友数量与其好友的好友数量，发现93%的用户的好友数低于他好友的好友数量的平均值。

统计发现，平均一个用户只有190个朋友，而他们的朋友平均有635个朋友！对线下社交网络的调查研究也得出了类似的结论。我们把这一现象称作“好友悖论”，一种其实在很多情景下都可能出现的现象。

比如说你现在走进了一家健身房。看看周围，是不是觉得好像每个人的身材都比你好？恩，也许是因为你自己身材太差，但这种情况其实很难避免，同时你完全不需要因此觉得惭愧。如果你只是一个普通的健身房会员，根据预期你就应该看到这样的场景，因为那些大汗淋漓喘着粗气的人并不代表平均水平。他们是那种会花时间在健身房的类型，所以你才会第一眼就看到他们。而那些宅男宅女正窝在家里，所以你没法把他们算在内。

换句话说，你所取的统计样本并不具有代表性，它其中健身狂的比例偏多。这也很好地解释了为何人们总觉得机场、餐馆、公园、海滩的拥挤程度总是大于实际统计的平均值。因为人们总是在假期一窝蜂地拥向这些场所，而当这些地方没人的时候，没有人在场见证它们的空空如也。这样想就不难理解我们的“好友悖论”了。之所以你的好友大多比你受欢迎，就是因为那些人很大概率上也会是“社交狂魔”。

下面我们来举一个简单的小例子，从数学的角度来说明这一看似难以接受的结论的合理之处：

Abby, Becca, Chloe和Deb是四个高中生，连线代表两人互为好友。Becca是Abby唯一的好友，她是个小交际花，和每个人都是朋友。Chole和Deb是朋友，她们也是Becca的朋友。因此Abby有一个朋友，Becca有三个，Chole和Deb各有两个，加起来共有8个朋友。由于共有4个人，所以平均每个人有2个朋友。2这个平均数代表好友悖论里平均每个人的朋友数量。

注意，我们的好友悖论声称这个数量比朋友的平均朋友数小。那事实是否如此呢？这个问题有点让人头昏是因为“朋友的朋友”这句话念起来很拗口。为了避免这种情况，我们用朋友的“分数”来表示朋友的朋友的数量。所以问题就成了：“你的圈子里所有朋友的平均分是多少？”假设每个女孩都会喊出她的朋友的分数：

Abby:“Becca三分。”
Becca:“Abby一分，Chloe两分，Deb两分。”
Chloe:“Becca三分，Deb两分。”

Deb: “Becca三分，Chloe两分。”

把这些分数加起来3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2，等于18。由于一共有八个分数，因此平均值是18除以8，等于2.25。注意2.25比2大。看来朋友的平均得分的确比自己的高。不过关键在于这一现象为什么会发生。这是因为Becca这样受欢迎的人不仅分数高，被朋友提到的次数也多，因此对平均分的贡献不成比例地高。看看Becca是怎样把总分变成18的吧：Abby被提到了一次，因为她的得分是1，因此她对总分的贡献是1x1；Becca被提到了三次，而她的分数是3，因此她的贡献是3X3；Chloe和Deb都被提到了两次，每次贡献两分，因此为总分贡献了2x2。所以这四个人的总分就是(1 x 1) + (3 x 3) + (2 x 2) + (2 x 2)。