凯利公式你都不造？｜你还好意思去赌场？｜啧！啧！啧！,DNC澳洲求职微信公众号文章

什么？

凯利公式你都不造是啥？

你还好意思去赌场？

啧！啧！啧！

爱好博彩业和投资学的同学应该都对著名的凯利公式不陌生。这是一个通过计算 edge 和 odds 来选择最佳投注比例的公式，目的是长期获得最高的盈利。

公式中：f = 应该放入投注的资本比值；p = 获胜的概率；q = 失败的概率；b = 赔率。

本宝宝就是作者

其实公式的作者，John Larry Kelly，并不是一个资深赌徒，而是一位著名的物理学家，他发明这个公式的时候正是著名的 AT&T 的 Bell Lab 中的一名研究科学家，研究方向是当时还算新兴前沿的电视信号传输协议。

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所以，这个科学家是是怎么和博彩业联系起来的呢？

1955 年 6 月，美国出现了一个极其有名的电视节目，叫做 64000 dollar question. 答题者通过不断答对题来累积奖金，一时风靡全美，黄金时段收视率达到 85%，各路山寨节目不断。这样一个 quiz show 迅速吸引了场外下注来赌赢家的赌盘。这档节目的录制是在纽约，东海岸现场直播，而西海岸则有延时。当时的新闻爆出一些丑闻，有关西海岸的赌徒通过电话提前得知结果，赶在了西海岸直播前下注。

这时候聪明的Kelly出现了！！！John Kelly 看了新闻之后，他想到这个如何使具备一定内幕消息 (private wire) 但是同时有一部分杂音 (noise) 的赌徒最大化长期获益的问题，可以使用他们实验室关于咨询学和噪音传递研究的公式来解决。于是，他以一个赛马的模型，推出了凯利公式的雏形。

John Kelly 的理论是这样的，对于有一定 private wire 的赛马人来说，第一个自然的想法当然是放入全部的资金，但是这样就会造成万一输掉血本无归的惨境。而在 Kelly 想要解决的这个问题中，在任何一个时刻输掉全部资金显然是不符合最大化累积收益的需求的。

真正应该关心的是长期累积的收入 (compounding return)，对于累积的收益来说，最后的结果只和输赢的局数有关，而和输赢的顺序无关。所以他推出了一个最佳的投入仓位比，来最大化长期的累积收益：

bet = edge / odds = 预期获益／获益回报

这里的 edge 在赌博中可以理解为获胜的概率＊赔率 - 失败的概率，当 edge 的数字为正的时候，这就是值得下注的比赛，而 edge 为 0 或者负数的情况说明赌徒不具备 edge, 不应该下注 (applies to most of games in casino)

而 odds 则是赔率，我们更可以把它理解为一种公众对概率的估计，是公开的消息。

怎么用凯利公式？传说中的小明，该上线了。

我们可以用 kelly formula 模拟这样一种情况：小明现在有 100 元的起始资金，他现在将要投硬币 4 次，每一次他投出硬币为正面的时候，将获得 6 倍资金回报（1 赔 5），当他投出硬币为反面，陪光。请问小明要如何分配每次下注资金，才能最大化他 4 次投币之后的收益 (maximize geometric mean) 呢？

根据 Kelly 公式计算，我们可以建立起这样一个 pascal triangle 正反面的概率各为 50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds 为 5，最佳仓位为 40%，可以看到最终在 16 个可能出现的结果中 (4 次投掷)，12.96 和 8100 出现 1 次，64.8 和 1620 出现 4 次，324 出现 6 次，16 次结果的 geometric mean 为 324 - Kelly 公式的目的正是最大化这些结果的 geometric mean。

由于 Kelly 公式着眼于长期回报率和风险的控制，所以天然就吸引投资人想要把它应用在投资当中。比如著名的传奇数学家 Edward Thorp 读了 John Kelly 的论文之后，先是自学 Fortran 用 IBM 大型机开发了一套专门用于 21 点的算法（感兴趣的同学可以去看下电影 21，电影里的 card counting 的方法正是获得 edge 的来源），带上 John Kelly 的导师在拉斯维加斯大把吸金。（小编Y不禁要感慨，学霸爷爷们真会玩儿！！！）

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